FlowPET：利用辛流匹配解决低计数PET重建中的信号洗出问题

以下译文用于快速探索和学习，技术术语按需要保留英文；正式引用和精确表述请以原论文为准。

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FlowPET：用于低计数PET重建的物理信息辛流匹配

张正1 唐浩1 胡颖颖2 胡战利3 秦靖1

摘要

低计数正电子发射断层扫描（PET）重建受到现有生成模型耗散性质的严重阻碍，其中固有的相空间收缩导致微弱但具有诊断关键意义的病灶信号发生数值消亡（“洗出”）。为了克服这一几何限制，我们提出了FlowPET，这是一种物理信息框架，将重建重新表述为辛相空间中的体积守恒传输。通过对可分哈密顿系统进行参数化以表征后验动力学，我们的方法从构造上保证了无散度向量场，理论上避免了坍缩。为了在保守概率流场（$\nabla \cdot \mathbf{v} < 0$）中对抗耗散性弱信号被“洗出”并与噪声混合的现象，我们引入了基于PET算子值域-零空间分解的共轭边界条件；这严格保证了值域中的数据一致性，同时将随机不确定性注入限制在未观测的零空间中。我们通过辛流匹配训练模型，并使用辛Leapfrog积分器进行推理。在BrainWeb、临床儿科和UDPET数据集上的大量实验表明，FlowPET不仅在SSIM和PSNR上超越了最先进的确定性和随机基线，而且更重要的是，在低对比度病灶的恢复方面表现出优越性。结果证实，施加哈密顿结构约束为高噪声模式下的医学逆问题提供了稳健的几何保障。 代码可在 https://github.com/xiaochaorouz/FlowPET 获取。

1 香港理工大学智能健康中心，中国香港 2 中山大学肿瘤防治中心核医学科，中国广州 3 中国科学院深圳先进技术研究院医疗人工智能研究中心，中国深圳。通讯作者：Hao Tang <howard.haotang@gmail.com>。

耗散求解器 vs 辛求解器

信息洗出 vs 体积守恒

噪声信号 vs 弱病灶信号 vs 辛传输

图1. PET重建中生成动力学的概念比较。在标准耗散求解器诱导的收缩性概率流场（$\nabla \cdot \mathbf{v} < 0$）中，弱病灶信号与噪声一起被“洗出”。相比之下，辛求解器将动力学提升到辛相空间，在严格的物理约束下无损地传输临床关键信号，强制执行体积守恒（$\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$）。

1. 引言

低计数正电子发射断层扫描（PET）重建是医学成像的关键前沿领域，需要在精确的代谢定量与严格的辐射安全协议之间取得平衡。减少示踪剂剂量不可避免地会因为泊松光子计数统计特性而降低信噪比（SNR）。在这种模式下，重建任务超越了简单的反演；它变成了一个复杂的贝叶斯推断问题，旨在根据噪声测量值恢复条件后验分布。

主要挑战不仅仅在于去噪，更在于对微弱病灶信号的忠实恢复，这些特征对于早期分期具有诊断上的关键意义，但在占主导地位的背景噪声面前在统计上非常脆弱。

为了缓解经典算法（如OSEM (Hudson & Larkin, 1994)）固有的噪声放大问题，该领域已转向深度学习。虽然有效，但当前的范式面临着一个根本性的困境。确定性方法 (Zhang et al., 2026; 2024; Xie et al., 2025; Wang & Liu, 2020; Cui et al., 2024) 通过近似后验均值来最小化重建误差。这导致了众所周知的“回归均值”现象，其中高

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频率纹理和细微病灶对比度因统计平均而被抹除。相比之下，生成范式旨在恢复详细的分布。尽管随机微分方程（SDE）求解器（Ai 等人，2025；Huang 等人，2025；Luo 等人，2023）显著增强了纹理的真实感，但它们根本依赖于耗散动力学来驱动采样轨迹。我们指出了这一机制中的一个关键几何缺陷：标准扩散流诱导严格的负散度（$\nabla \cdot \mathbf{v} < 0$），导致相空间体积持续收缩。对于低计数PET，这种收缩是不加区分的；它无法区分随机噪声和稀疏病理特征。因此，微弱的病灶信号容易在形成连贯结构之前就被流“洗出”（washed out）而数值灭绝（图1）。

保留这些脆弱信号需要从耗散收缩转向保守的几何框架。我们引入了 FlowPET，它将后验采样重构为可逆的、体积守恒的演化过程。与在图像流形上操作的标准方法不同，我们将重建提升到辛相空间（Symplectic Phase Space）。通过在流匹配（Flow Matching）框架内通过可分哈密顿系统（Separable Hamiltonian System）参数化向量场，我们的方法严格遵循刘维尔定理（Liouville's Theorem）（Safko 等人，2002）。这使得模型能够利用辅助动量空间来重组信息而不进行压缩，确保微弱病灶的概率质量被等距传输而非消除。

然而，体积守恒带来了新的挑战：在没有收缩“去噪”效应的情况下，模型缺乏抑制噪声的内在机制。为了驾驭这一点，我们必须利用PET逆问题的固有各向异性来显式引导保守流。我们基于值域-零空间分解（Range-Null Space Decomposition）实施物理信息共轭边界。具体而言，我们将数据一致性梯度编码到动量变量（值域）中，同时将随机不确定性注入严格限制在正交子空间（零空间）。这种设计确保生成过程合成合理的高频纹理，而不会制造违反底层物理的幻觉伪影。

总之，我们做出了三项主要贡献：

• 辛生成框架：我们提出了 FlowPET，这是一个利用可分哈密顿动力学以确保无散度传输的框架。这在理论上防止了耗散模型中普遍存在的“信号洗出”（Signal Wash-Out）现象，通过保持相空间体积不变。
• 物理信息正交性：我们引入了用于相空间边界的值域-零空间分解策略。这严格保证了值域中的数据一致性，同时将随机探索限制在零空间，从而解决了保真度与多样性之间的冲突。
• 结构保持推理：我们在推理中实施了辛Leapfrog积分器（Symplectic Leapfrog Integrator），证明了严格的几何守恒在多种低计数数据集上相比最先进基线方法能更好地保留低对比度病灶。

2. 相关工作

PET重建 深度学习在PET重建中的轨迹反映了从确定性回归到随机生成建模的根本转变。早期的确定性方法主要学习从低计数正弦图到高质量图像的映射，无论是直接映射（Wang & Liu, 2020; Kaviani 等人, 2023; Cui 等人, 2024）还是迭代方式（Zhang 等人, 2026; 2024; Xie 等人, 2025; Hu & Liu, 2022; Fu 等人, 2021）。虽然这些基于回归的方法在峰值信噪比（PSNR）方面超越了经典迭代算法（Hudson & Larkin, 1994; Shepp & Vardi, 2007），但它们在数学上近似于后验均值 $E[x|y]$。因此，它们深受“回归到均值”现象（Saharia 等人, 2023）的困扰，导致重建结果过度平滑，其中高频纹理被平均化，小而低对比度的病灶被抑制（Song 等人, 2021）。为了恢复高频保真度，范式转向了后验采样（Posterior Sampling）。早期使用生成对抗网络（GANs）（Isola 等人, 2017; Xue 等人, 2021; Liu 等人, 2022; Manoj Doss & Chen, 2024; Wang 等人, 2024）的尝试成功合成了逼真的纹理，但遭受了训练不稳定和模式崩溃的问题。最近，基于分数的生成模型（SGMs）和扩散模型（DDPMs）已成为最先进的方法（Ai 等人, 2025; Luo 等人, 2023; Gan 等人, 2025; Webber 等人, 2025; Yu 等人, 2025; Tang 等人, 2024; Shen 等人, 2024）。通过将重建表述为随机微分方程（SDE）的时间反转（Song 等人, 2021），这些方法迭代地将噪声先验细化到数据流形上，展示了在建模复杂多模态分布方面的卓越能力。

尽管取得了成功，这些随机求解器根本依赖于耗散动力学来稳定生成轨迹。虽然这对于去噪有效，但这种收缩机制是不加区分的：它会强烈抑制低概率特征。在低计数模式下，微弱的病灶信号容易数值灭绝。它们在被耗散流“清洗掉”之前无法形成连贯的结构，从而导致“信号洗出”现象（Toth 等人, 2020）。

哈密顿与辛动力学 将辛几何集成到深度学习中的研究已经兴起

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作为一种强大的归纳偏置，以确保物理一致性。基于神经ODE（Chen等人，2021），哈密顿神经网络（HNNs）和辛重构神经网络被提出，用于参数化严格满足守恒定律（如能量守恒）的连续时间动力学。与无约束求解器不同，这些方法利用辛积分器来保持相空间体积（Toth等人，2020）（遵守刘维尔定理（Safko等人，2002）），在稳定、长周期的物理模拟中已被证明非常有效（Chen等人，2020）。除了动力学学习之外，这种结构保持特性已被扩展到生成模型中。早期的体积保持流，如NICE（Dinh等人，2015）和哈密顿生成网络（Toth等人，2020），利用可逆动力学进行高效的密度估计和采样。最近，辛生成网络（Aich & Aich，2025）进一步形式化了这一框架。然而，这些方法主要解决无条件生成、物理模拟或空间配准问题。它们尚未有效地适应病态逆问题，其中的挑战不仅在于守恒，还在于引导保守流以满足严格的数据一致性约束。在本文中，FlowPET通过在条件流匹配框架中嵌入可分哈密顿结构，利用几何守恒来使弱PET信号免受数值耗散的影响。

3. 预备知识

问题表述。低计数PET采集本质上由泊松光子计数统计规律支配。给定未知的放射性示踪剂分布 $x \in \mathbb{R}^d$ 和系统矩阵 $A \in \mathbb{R}^{m \times d}$，测量的正弦图 $y \in \mathbb{R}^m$ 服从 $y \sim \text{Poisson}(Ax)$。因此，重建是一个病态逆问题。我们将其框架化为贝叶斯推断，旨在从不可处理的后验分布 $p(x | y) \propto p(y | x)p(x)$ 中采样。由于 $x$ 的高维性，直接采样在计算上是不可行的。这促使我们使用连续时间生成模型，以从简单的噪声分布构建到复杂目标后验的传输映射。

条件流匹配。流匹配（FM）（Lipman等人，2023；Liu等人，2023）为训练此类连续传输映射提供了一个稳健的、无模拟的框架。FM回归一个依赖于时间的向量场 $v_t$，该向量场生成在源分布 $p_0$ 和目标分布 $p_1$ 之间插值的概率路径 $p_t(z)$。对于由线性插值 $z_t = (1 – t)z_0 + tz_1$ 定义的条件路径，目标向量场显式为 $u_t(z|z_1) = z_1 – z_0$。目标是最小化回归损失：

$$ \mathcal{L}_{FM}(\theta) = \mathbb{E}_{t,z_0,z_1} \| v_\theta(z_t, t) – (z_1 – z_0) \|^2. \quad (1) $$

哈密顿动力学。为了强制体积保持，我们转向哈密顿力学，它描述了系统在辛相空间 $Z = X \times P \cong \mathbb{R}^{2d}$ 上的演化。这里，状态 $z = (x, p)$ 将辅助动量 $p$ 与图像数据 $x$ 相结合。动力学由标量哈密顿量 $H(z, t)$ 通过正则方程控制：

$$ \frac{dz}{dt} = J \nabla_z H(z, t), \quad J = \begin{pmatrix} 0 & I_d \\ -I_d & 0 \end{pmatrix}. \quad (2) $$

这种结构的一个基本后果是刘维尔定理（Safko等人，2002）：向量场是无散的，即 $\nabla \cdot (J \nabla H) \equiv 0$。这保证了相空间体积沿轨迹严格不变（Safko等人，2002）。通过哈密顿量对流进行参数化，我们从理论上确保概率密度在传输过程中不会像标准欧几里得流那样出现人为收缩。

4. 方法

动机 恢复低计数PET图像的根本瓶颈在于，弱病灶信号对标准生成模型的耗散性质非常脆弱。在欧几里得图像流形上，连续时间流（例如在扩散模型中）通常诱导负散度（$\nabla \cdot v < 0$），从根本上依赖于相空间收缩来集中概率质量。虽然这种收缩有效地抑制了噪声，但它为小而空间紧凑的病灶创造了危险的环境，这些病灶容易数值消亡，在形成连贯结构之前就被与噪声一起“洗出”。

为了解决这一困境，我们认为生成过程必须从耗散几何提升到保守几何。我们提出了FlowPET（图2），它将重建重新表述为增强辛相空间中的轨迹。通过采用哈密顿公式，我们确保传输严格保持体积（刘维尔定理）。这种结构不变性作为一种保障措施，使模型能够基于严格的辛流匹配而非激进的几何收缩来区分信号和噪声。

4.1. 哈密顿后验传输

标准生成流在图像流形 $X \subseteq \mathbb{R}^d$ 上运行。为了实现非耗散传输，我们将条件重建问题提升到辛相空间 $Z := X \times P \cong \mathbb{R}^{2d}$。这里，$P \cong \mathbb{R}^d$ 作为辅助动量缓冲区，允许信号能量被

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位置状态 动量状态 辛相状态 势能网络 … … 正弦图 全计数 低计数 标准正态噪声 辛矩阵

PET系统矩阵 值域 零空间 伪逆 动量 … … 动量 伴随矩阵 动能网络 动能网络 势能网络

图2. FlowPET框架概述。FlowPET将重建表述为辛相空间 $Z = X \times P$ 中的体积守恒输运，由可分哈密顿系统 $(U_\psi, K_\phi)$ 驱动，确保无散度动力学。该轨迹利用物理信息的动量初始化，其中 $p_0$ 嵌入值域数据一致性，$p_1$ 注入正交零空间不确定性，以恢复严格遵循物理约束的纹理。

在结构形式（位置）和潜在速度（动量）之间动态重新分配，而不是从系统中耗散掉。

对于给定的测量值 $y$，我们将后验输运参数化为由哈密顿方程控制的流映射 $\phi_t(\cdot | y)$： $$ \dot{z} = J \nabla_z H_\theta(t, z; y), \quad z = \begin{pmatrix} x \\ p \end{pmatrix}, \quad J = \begin{pmatrix} 0 & \text{Id} \\ -\text{Id} & 0 \end{pmatrix}, \quad (3) $$ 其中 $J$ 是定义流几何结构的规范辛矩阵。

可分哈密顿参数化。虽然任何哈密顿公式在连续时间内都保证体积守恒，但实际部署需要一种支持高效、结构保持数值积分的架构。为此，我们施加可分哈密顿系统归纳偏置。我们将哈密顿能量 $H_\theta$ 严格分解为仅依赖于状态的势能项 $U_\psi$ 和仅依赖于动量的动能项 $K_\phi$： $$ H_\theta(t, x, p; y) = U_\psi(t, x; y) + K_\phi(t, p; y). \quad (4) $$ 将此分解代入辛梯度，得到一个块结构的向量场： $$ v_\theta(t, z; y) = \begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{p} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \nabla_p K_\phi(t, p; y) \\ -\nabla_x U_\psi(t, x; y) \end{pmatrix}. \quad (5) $$ 这种设计确保 $x$ 的时间演化完全由共轭动量驱动，而作用于 $p$ 的力完全源自空间势能。

命题 4.1（构造上的无散度）。假设 $U_\psi$ 和 $K_\phi$ 连续可微。由于对角块消失，式 (5) 中可分向量场的雅可比迹恒为零： $$ \nabla_z \cdot v_\theta = \text{tr} \frac{\partial \dot{x}}{\partial x} + \text{tr} \frac{\partial \dot{p}}{\partial p} = \text{tr}(0) + \text{tr}(0) \equiv 0. \quad (6) $$ 证明。见附录 A.2。

物理含义。命题 4.1 确立了流通过架构构造满足刘维尔定理。在低计数 PET 的背景下，这提供了拓扑保证：弱病灶信号占据的相空间体积是运动的不变量。与概率质量可能收缩到模式中的扩散模型不同，我们的哈密顿输运严格守恒信息密度，确保在重建过程中细微的病理特征被输运而非消除。

4.2. 物理信息辛流建模

虽然哈密顿公式（第 4.1 节）保证了体积守恒输运，但它隐含了一种守恒定律，而未指定输运的几何形状。在不适定逆问题中，后验景观本质上是各向异性的：它在正向算子可测量的方向上受到严格约束，而在数据沉默的零空间中则是扩展的。

为了导航这种景观，我们在相空间边界中引入了值域-零空间分解。我们

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构建共轭边界条件，明确地将数据一致性（值域）与随机可变性（零空间）解耦，确保学习到的流尊重PET算子的谱性质。

4.2.1. PET后验的几何结构

系统矩阵 $A$ 施加了根本性的信息不对称。似然函数仅沿伴随算子 $A^\top$ 的值域空间约束解流形，而主要位于 $A$ 的核中的细尺度纹理则处于未确定状态。标准方法往往混淆这些子空间，导致两难境地：要么过拟合噪声（值域污染），要么过度平滑纹理（零空间坍缩）。忠实的传输机制必须保持正交性：它应在物理信息丰富的地方严格强制一致性，而在物理盲区仅注入受控的随机性。

4.2.2. 共轭相空间边界

我们定义了一条概率路径，连接全计数参考分布（$t=0$）和基于测量的先验（$t=1$）。正向轨迹（$t=0 \rightarrow 1$）表示退化，而反向轨迹（$t=1 \rightarrow 0$）执行重建。边界状态 $z_0, z_1 \in \mathcal{Z}$ 定义为：

$$ z_0 = \begin{pmatrix} x_0 \\ p_0 \end{pmatrix} (\text{源}), \quad z_1 = \begin{pmatrix} x_1 \\ p_1 \end{pmatrix} (\text{目标}). $$

位置边界。空间坐标由完全采样的参考 $x_0 := x_{\text{full}}$ 和伪逆近似 $x_1 := A^\dagger y$（通过滤波反投影实现）锚定。动量边界。新颖之处在于动量变量，我们利用它们来编码后验密度的梯度流：

值域动量（$t=0$：数据得分嵌入）。在源边界，我们定义动量以捕获似然的驱动力。为了抵消由 $A^\top$ 的病态性质引起的尺度差异，我们引入动量压缩因子 $\gamma$：

$$ p_0 := \gamma A^\top(y – Ax_0). \quad (7) $$

从几何上看，$p_0$ 对应于 $L^2$ 数据保真度代理 $\frac{1}{2}\|y – Ax\|^2$ 的缩放负梯度，该代理取代了精确的泊松对数似然，以避免在极端低计数情况下泊松梯度的奇异性。通过将 $p_0$ 初始化为该值，我们有效地将数据得分嵌入到动量变量中。这在哈密顿系统中充当恢复力，在生成过程中将轨迹拉向数据一致解的流形（见附录 A.3）。

辛Leapfrog积分器

[图3. 辛Leapfrog积分器。利用可分哈密顿量，这种时间交错的Stormer-Verlet方案将半步动量踢（$\nabla U_\psi$）与全步位置漂移（$\nabla K_\phi$）交错排列。这种离散化保持单位雅可比行列式，保证精确的相空间体积守恒。]

零空间动量（$t=1$：正交噪声注入）。在目标边界，我们隔离不确定性。我们通过将各向同性高斯噪声投影到算子的零空间来初始化 $p_1$，并按 $\gamma$ 进行缩放，以确保随机能量注入与确定性恢复力相当：

$$ p_1 = \gamma (I – A^\dagger A)\xi, \quad \xi \sim \mathcal{N}(0, I). \quad (8) $$

其中 $(I – A^\dagger A)$ 是到 $\text{Null}(A)$ 的正交投影算子。

这一构造至关重要。与标准扩散平等地破坏所有分量不同，这种正交噪声注入确保生成器仅在未观测子空间中探索多样性。它允许模型在不违背由正弦图施加的低频结构约束（值域骨干）的情况下，幻觉出合理的高频纹理（零空间填充）。

4.2.3. 辛流匹配

为了学习连接这些边界的保守动力学，我们采用辛流匹配（SFM）。我们通过线性插值 $z_t = (1-t)z_0 + tz_1$ 定义时间依赖的概率路径，从而诱导一个向量场 $u_t = z_1 – z_0$。生成哈密顿向量场 $v_\theta$ 通过在辛流形上最小化回归目标进行训练：

$$ \mathcal{L}_{\text{SFM}} = \mathbb{E}_{t, z_0, z_1} \left[ \| v_\theta(t, z_t; y) – (z_1 – z_0) \|^2 \right]. \quad (9) $$

关键在于，我们的可分哈密顿参数化（公式 (4)）允许将此目标解耦为具有物理解释性的分量：

$$ \mathcal{L}_{\text{SFM}} = \mathbb{E}_h \left[ \| \nabla_p K_\phi – \Delta x \|^2 \right] + \mathbb{E}_h \left[ \| -\nabla_x U_\psi – \Delta p \|^2 \right], \quad (10) $$

$$ \underbrace{\text{Kinetic Matching}}_{\text{Transport}} + \underbrace{\text{Potential Matching}}_{\text{Guidance}} $$

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FlowPET：用于低计数PET重建的物理信息辛流匹配

表 1. BrainWeb（20%计数）、In-House（1%计数）和 UDPET Brain（1%计数）数据集上重建性能的定量比较。最佳和第二佳结果分别以粗体和下划线标示。

BrainWeb (20% Count) In-House (1% Count) UDPET Brain (1% Count) 方法 SSIM↑ PSNR↑ RMSE↓ SSIM↑ PSNR↑ RMSE↓ SSIM↑ PSNR↑ RMSE↓

OSEM (Hudson & Larkin, 1994) 0.9078 28.35 0.0447 0.7456 23.59 0.0745 0.7607 19.87 0.1108 AutoContextCNN (Xiang et al., 2017) 0.9816 33.64 0.0233 0.9339 33.66 0.0226 0.8794 26.29 0.0541 DeepPET (H¨aggstr¨om et al., 2019) 0.9746 30.08 0.0331 0.8820 32.24 0.0263 0.8218 25.28 0.0581 CNNBPnet (Zhang et al., 2020) 0.9560 30.62 0.0329 0.9240 34.62 0.0200 0.7750 25.06 0.0621 FBPnet (Wang & Liu, 2020) 0.9327 33.62 0.0231 0.9592 34.19 0.0210 0.8907 27.36 0.0463 LCPR-Net (Xue et al., 2021) 0.9769 33.75 0.0224 0.9222 34.95 0.0206 0.8919 27.77 0.0446 Sino-cGAN (Liu et al., 2022) 0.9641 30.76 0.0306 0.9704 33.58 0.0223 0.8646 25.54 0.0569 IR-SDE (Luo et al., 2023) 0.9589 32.55 0.0266 0.9728 33.81 0.0222 0.9103 25.52 0.0549 DGLM u (Zhang et al., 2024) 0.9785 33.58 0.0230 0.9551 32.93 0.0245 0.8905 25.95 0.0552 RED (Ai et al., 2025) 0.9664 34.45 0.0210 0.9472 34.15 0.0192 0.8890 26.51 0.0474 DREAM (Huang et al., 2025) 0.9777 33.07 0.0246 0.9661 35.77 0.0173 0.9081 28.49 0.0411 FourierPET (Zhang et al., 2026) 0.9859 35.36 0.0198 0.9740 35.19 0.0188 0.9083 27.98 0.0437

FlowPET (Ours) 0.9838 36.34 0.0188 0.9811 36.35 0.0160 0.9139 28.88 0.0387

其中 $\Delta x = x_1 – x_0$ 且 $\Delta p = p_1 – p_0$。这种分解简化了优化：$K_\phi$ 学习质量传输的运动学路径，而 $U_\psi$ 学习塑造后验几何结构的底层势能景观。

4.3. 结构保持离散化

FlowPET 的理论保证，特别是向量场的无散度性质，是在连续时间极限下推导出来的。然而，数值实现需要对这些动力学进行离散化。一个关键的陷阱是使用标准求解器（例如 Runge-Kutta (Butcher, 1996)），它们不是辛的；它们引入的数值耗散充当人工粘度，违反刘维尔定理 (Safko et al., 2002)，并导致相空间体积在积分步骤中收缩。对于低计数 PET，这种数值收缩将重新引入我们旨在消除的信号洗出。

为了在离散域中保持几何一致性，我们在图 3 中采用辛 Leapfrog (St¨ormer–Verlet (VER-LET, 1968)) 积分器。关键在于，我们之前强制执行的 可分哈密顿系统 架构（公式 (4)）在此起到了启用作用：它允许使用显式时间交错更新，避免了通用哈密顿量所需的隐式求解器所带来的高昂计算成本。

对于反向步长 $\epsilon$（在推理中 $\epsilon > 0$），更新规则如下：

$$ \hat{p}_{t-\epsilon/2} = \hat{p}_t + \frac{\epsilon}{2} \nabla_x U_\psi(t, \hat{x}_t; y), \quad (11) $$

$$ \hat{x}_{t-\epsilon} = \hat{x}_t – \epsilon \nabla_p K_\phi(t – \epsilon/2, \hat{p}_{t-\epsilon/2}; y), \quad (12) $$

$$ \hat{p}_{t-\epsilon} = \hat{p}_{t-\epsilon/2} + \frac{\epsilon}{2} \nabla_x U_\psi(t – \epsilon, \hat{x}_{t-\epsilon}; y). \quad (13) $$

这种离散化具有一个独特的性质：更新映射的雅可比行列式恰好为单位 1。因此，相空间体积被精确保持，独立于步长 $\epsilon$。与标准求解器中误差表现为耗散不同，辛积分中的误差表现为能量的有界振荡（跟踪“影子哈密顿量”）。这提供了严格的保证：在边界处注入的零空间不确定性无损地传输到最终重建中，免受数值灭绝的影响（见附录 A.4 的证明）。

推理协议。在推理时，我们从后验 $p(x|y)$ 采样，方法是从先验边界 ($t=1$) 反向流形到数据流形 ($t=0$)。我们使用第 4.2 节中建立的测量条件先验初始化状态 $z_1 = (x_1, p_1)$：

$$ x_1 = A^\dagger y, \quad p_1 = \gamma (I – A^\dagger A)\xi, \quad \xi \sim \mathcal{N}(0, I). \quad (14) $$

通过反向积分学习到的动力学，我们恢复出样本 $x_0$。由于流保持体积守恒且动量初始化与数据正交，生成的 $x_0$ 有效地将生成的零空间纹理叠加在由 $y$ 提供的值域主干上，从而产生既高保真又物理一致的重建。

5. 实验

5.1. 实验设置

数据集。我们在三种不同的低计数场景下评估 FlowPET：(1) BrainWeb (Aubert-Broche et al., 2006)，包含 20 个体积（3,200 层）的模拟数据，剂量为 20%，通过留一法交叉验证进行评估；(2) In-house，包含 60 例全身儿科扫描（40,440 层），合成剂量为 1%，分为 48 个受试者用于训练/验证，12 个用于测试；(3) UDPET Brain (Xue et al., 2022)，由 206 例扫描（26,368 层）组成，剂量降低因子 (DRF) 为 100，分为

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FlowPET：用于低计数PET重建的物理信息辛流匹配

OSEM autoContextCNN FourierPET DGLM_u LCPRnet IR-SDE DREAM FlowPET (Ours) Full-Count 0.9049/ 27.03 0.0445 0.9623 / 31.13 0.0278 0.9891 / 36.46 0.0150 0.9577 / 34.27 0.0193 0.9829 / 31.16 0.0277 0.9664 / 35.59 0.0166 0.9882 / 36.21 0.0155 0.9913/ 36.92 0.0143 SSIM↑ / PSNR ↑ RMSE↓ Axial-1 Coronal/ Sagittal Axial-2 0.8858/ 23.93 0.0636 0.9524 / 28.33 0.0383 0.9610 / 30.45 0.0300 0.9477 / 30.26 0.0307 0.9437 / 25.14 0.0553 0.9352 / 29.77 0.0325 0.9569 / 29.53 0.0334 0.9678 / 30.91 0.0285 SSIM↑ / PSNR ↑ RMSE↓

OSEM autoContextCNN FourierPET DGLM_u LCPRnet IR-SDE DREAM FlowPET (Ours) Full-Count

0.9258/ 28.87 0.0360 0.9765 / 30.73 0.0291 0.9912 / 36.54 0.0149 0.98757 / 35.57 0.0167 0.8709 / 21.02 0.0889 0.9453 / 36.25 0.0154 0.9928 / 34.89 0.0180 0.9942 / 37.98 0.0126 SSIM↑ / PSNR ↑ RMSE↓ Axial-1 Coronal/ Sagittal Axial-2 0.8663/ 25.02 0.0561 0.93543 / 33.57 0.0210 0.9490 / 35.17 0.0174 0.9540 / 35.70 0.0164 0.9213 / 30.96 0.0283 0.9057 / 35.64 0.0165 0.9480 / 35.34 0.0171 0.9643/ 36.82 0.0144 SSIM↑ / PSNR ↑ RMSE↓

图4. 临床儿科数据集上的定性可视化结果。该图展示了大脑（顶部，由蓝线指示）和躯干（底部，由红线指示）的轴向切片，并附带放大补丁和误差图，以及中央的矢状面/冠状面全身视图。面板上方的相应定量指标验证了FlowPET相比主要基线在结构保真度方面的优越性。

170用于训练/验证，36用于测试。 每个数据集，其中全计数OSEM (Hudson & Larkin, 1994) 重建作为真实值 $x_{GT}$。

网络架构。为了强制执行可分哈密顿结构 $H(x, p) = U(x) + K(p)$，我们不直接参数化标量能量。相反，我们使用两个独立的神经网络来近似保守向量场：动能网络近似速度 $\nabla_p K_\phi(t, p; y)$，势能网络近似力场 $-\nabla_x U_\psi(t, x; y)$。这两个网络均采用源自Guided-Diffusion (Dhariwal & Nichol, 2021) 的U-Net主干，并通过自适应层归一化 (AdaLN) (Perez et al., 2018) 注入正弦图特征 $A^\top(y)$ 的编码器。我们采用非对称设计策略以平衡表达能力和计算效率：

5.2. 对比分析 定量优越性。如表1总结，FlowPET在所有指标上建立了新的最先进水平。关键在于，我们的方法成功克服了限制先前技术的权衡：它在纹理恢复方面超越了确定性方法（更高的SSIM），同时没有陷入随机求解器典型的幻觉或噪声伪影（更低的RMSE）。我们在附录C中详细分析了这些性能提升。

定性优越性。儿科数据集上的视觉比较（图4）揭示了耗散基线中固有的“信号洗出”现象。如放大区域所示，FlowPET将弱病灶信号视为要传输的不变质量，而不是要耗散的噪声，从而产生最接近全计数参考的结构保真度。额外的视觉比较和逐像素误差图分析见附录C。

训练协议。该框架在四块NVIDIA RTX 3090 GPU上使用PyTorch 2.1.1实现。我们使用AdamW优化器 ($\beta_1 = 0.9, \beta_2 = 0.999$) 进行训练，批量大小为8。学习率遵循余弦退火调度，在50万次迭代中从 $10^{-4}$ 衰减到 $10^{-6}$。训练对 (128 × 128) 是从…

推理速度：负责主要动量传输的动能网络 $K_\phi$ 具有强大的容量（128个基础通道，深度乘数 1, 2, 4, 8）。相反，势能网络 $U_\psi$ 充当几何引导，被设计为轻量级变体（64个基础通道，乘数 1, 2, 4），从而减少了双网络系统的内存占用。

5.3. 消融研究与分析

值域-零空间动量的消融。为了验证我们的物理信息相空间设计，我们消融了值域（恢复，$p_0$）和零空间（热，$p_1$）动量分量。如表…

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FlowPET：用于低计数PET重建的物理信息辛流匹配

表2. 值域（恢复，p0）和零空间（热噪声，p1）动量的消融实验。最佳结果以粗体显示。 低计数初始值 预测值 全计数参考值 低计数初始值 预测值 全计数参考值 内部全身体模 UDPET脑部模 求解器 恢复 热噪声 辛 (p0) (p1) SSIM↑ PSNR↑ RMSE↓ SSIM↑ PSNR↑ RMSE↓ 0.9711 35.96 0.0166 0.8915 28.64 0.0398 球形病灶体模 合成病灶BrainWeb ✓ 0.9766 36.36 0.0159 0.9047 28.50 0.0409 ✓ 0.9774 35.87 0.0169 0.9021 28.63 0.0401 比率 比率 比率 比率 ✓ ✓ 0.9811 36.35 0.0160 0.9139 28.88 0.0387 SUV SUV SUV SUV 均值 总计 均值 总计 表3. 动量压缩因子 γ 的比较 在内部全身体模扫描上的动量表现。最佳结果以粗体显示。 参数 γ SSIM ↑ PSNR ↑ RMSE ↓ 图5. 球形病灶体模和合成病灶BrainWeb 1 0.9616 35.67 0.0172 数据集上信号洗出现象的定量分析 10−1 0.9749 36.15 0.0163 曲线追踪了反向重建过程中均值和总SUV 10−2 0.9811 36.35 0.0160 比率的变化。 10−3 0.9796 35.98 0.0167

如表2所示，基线配置产生的指标最低， 这证实了无引导的动量初始化是不足 够的。引入恢复力显著提高了保真度， 使脑部SSIM比基线提高了0.0132；这 证实了嵌入数据一致性梯度的必要性。 关键在于，完整的FlowPET框架整合了 正交的热噪声分量，实现了最佳的结 构恢复。它在全身和UDPET脑部数据集 上均获得了最高的SSIM。虽然仅使用 确定性恢复力的配置产生了略高的PSNR， 但组合模型确保了更优越的结构相似性， 这表明将确定性一致性与随机不确定性 解耦对于捕捉细粒度解剖细节至关重要。

动量压缩因子 γ 的敏感性。表3研究了 全身体模扫描在 logarithmic 尺度上的 重建敏感性，我们观察到在 γ = 10−2 处存在明显的性能峰值。较大的 γ (γ ≥10−1) 放大了来自 A⊤ 的梯度，注入了过多的 动能。这导致“刚性”动力学，其中恢复 力超过流形，导致优化不稳定并降低SSIM。 过小的 γ (γ ≤10−3) 将动量阻尼至接近 零。这稀释了物理引导 (p0) 并限制了 零空间探索 (p1)，导致模型退化为仅 基于位置的回归。因此，我们采用 γ = 10−2 作为规范设置，以确保最优的传输稳定性。

附录B提供了进一步的额外研究。

5.4. 信号洗出分析

为了严格量化信号消失现象，我们在 两个旨在隔离保留能力的合成基准测试 上采用了信号恢复轨迹分析：球形病灶 体模（点源，变化FWHM/对比度）和合 成病灶BrainWeb（解剖结构复杂的背景）。 为了区别于标准的端点评估，我们监控 信号 ˆxt 沿离散反向轨迹 (t = 1 →0, 100步) 的演变。在每一步，我们计算均值和总 相对SUV比率，定义为病灶感兴趣区域 (ROI) 内恢复的标准摄取值 (SUV) 统计 量与真实值的比率。关键在于，该指标 作为概率质量守恒的确定性代理：比率 趋近于1.0表明生成流已成功将病灶的信 号质量从零空间传输到图像空间，而比 率下降则表明“洗出”或质量泄漏到背景 中。

如图5所示，轨迹揭示了根本的动力学 分歧。耗散求解器 (Luo et al., 2023) （虚线）表现出典型的能量崩溃特征： SUV比率起初上升，但过早饱和， plateauing 远低于真实值。这证实了耗散收缩激进地 抑制弱信号，将其视为需要平滑的噪声。 相比之下，FlowPET（实线）表现出持续、 单调地向基线（1.0）恢复。通过严格 强制执行辛守恒，我们的积分器保护了 脆弱的病灶信号免受数值灭绝，允许 数据驱动的恢复力完全重建病理强度。

6. 结论

在本工作中，我们提出了FlowPET，通过 用体积守恒的辛传输替代耗散扩散，解决 了低计数PET中的信号“洗出”病理问题。 通过将值域-零空间分解嵌入可分哈密顿 动力学，我们的框架成功地将测量一致 结构的恢复与纹理的随机探索解耦。这

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FlowPET：用于低计数 PET 重建的物理信息辛流匹配

设计有效地使诊断至关重要的病变免受相空间收缩的影响，同时保持高结构保真度。我们的研究结果确立了辛几何不仅作为物理模拟的工具，而且作为解决病态逆问题的稳健几何保障，在这些逆问题中，信息守恒与噪声去除同样关键。未来的工作将探索将此保守范式扩展到动态 PET 成像以及其他受严格守恒定律支配的科学领域。

影响声明

本文介绍的工作旨在推进机器学习领域。我们的工作有许多潜在的社会后果，其中没有哪一项需要我们在此特别强调。

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A. 算法与证明

A.1. FlowPET 训练与推理算法

算法 1 训练：辛流匹配 算法 2 推理：辛Leapfrog 要求：数据集 D = {(xFull, y)}，系统矩阵 A 要求：测量值 y，矩阵 A 要求：势网络 Uψ，动能网络 Kϕ 要求：训练好的网络 Uψ, Kϕ，步数 N 1: 超参数：γ (引导权重) 确保：重建图像 xrecon 2: repeat 1: # 1. 在 t=1 处初始化 (先验, 公式 14) 3: 从 D 中采样批次 (x0, y)，其中 x0 = xFull 2: x1 ←A†y 4: # 1. 相空间边界 (值域-零空间) 3: ξ ∼N(0, I) 5: x1 ←A†y {FBP 先验} 4: p1 ←(I −A†A)ξ 6: p0 ←A⊤(y −Ax0) {值域空间动量} 5: ϵ ←1/N {步长，ϵ > 0} 7: ξ ∼N(0, I) 6: xcurr ←x1, pcurr ←p1 8: p1 ←(I −A†A)ξ {零空间动量} 7: # 2. 向后积分 (t: 1 →0) 9: # 2. 最优传输插值 8: for i = N down to 1 do 10: t ∼U[0, 1] 9: t ←i/N {当前时间} 11: xt ←(1 −t)x0 + tx1 10: # A. 半步踢 (公式 11) 12: pt ←(1 −t)p0 + tp1 11: gpot ←−∇xUψ(t, xcurr; y) 13: # 3. 向量场预测 12: phalf ←pcurr −ϵ/2 · gpot 14: vt ←(x1 −x0, p1 −p0) {目标流} 13: # B. 全步漂移 (公式 12) 15: ˆvθ ←(∇pKϕ(t, pt; y), −∇xUψ(t, xt); y) 14: tmid ←t −ϵ/2 16: # 4. 优化 15: gkin ←∇pKϕ(tmid, phalf; y) 17: Lkinetic ←∥∇pKϕ −(x1 −x0)∥2 16: xnext ←xcurr −ϵ · gkin 18: Lpotential ←∥−∇xUψ −γ (p1 −p0)∥2 17: # C. 半步踢 (公式 13) 19: L ←Lkinetic + Lpotential 18: tnext ←t −ϵ 20: 使用 ∇L 更新 ϕ, ψ 19: g′pot ←−∇xUψ(tnext, xnext; y) 21: until 收敛 20: pnext ←phalf −ϵ/2 · g′pot 21: xcurr ←xnext 22: pcurr ←pnext 23: end for 24: return xrecon ←xcurr

A.2. 命题 4.1 的证明

命题 A.1 (命题 4.1 重述)。假设势项 Uψ(t, x; y) 和动能项 Kϕ(t, p; y) 分别关于状态 x ∈X 和动量 p ∈P 连续可微。由公式 (4) 定义的可分哈密顿系统诱导的向量场 vθ(t, z; y) 是无散的，满足：

∇z · vθ(t, z; y) ≡0, ∀z ∈Z. (15)

证明。证明过程通过显式推导向量场的雅可比矩阵并分析其块分量的迹来进行。

步骤 1：辛向量场的表述。回顾第 4 节中定义的相空间状态为 z = [x⊤, p⊤]⊤∈R2d。动力学由从可分哈密顿量 Hθ(t, x, p) = Uψ(t, x) + Kϕ(t, p) 导出的正则运动方程控制。诱导的向量场 vθ 由辛梯度给出：

˙x 0d Id ∇xUψ ∇pKϕ(t, p; y) vθ(t, z; y) = = J∇zHθ = = , (16) ˙p −Id 0d ∇pKϕ −∇xUψ(t, x; y)

其中 J 表示标准辛矩阵。

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步骤2：雅可比矩阵的分析。向量场的散度对应于其雅可比矩阵 $J_{v_\theta} = \frac{\partial v_\theta}{\partial z} \in \mathbb{R}^{2d \times 2d}$ 的迹。通过对公式 (16) 关于 $z$ 求导，我们得到块矩阵结构：

$$ J_{v_\theta} = \begin{pmatrix} \frac{\partial \dot{x}}{\partial x} & \frac{\partial \dot{x}}{\partial p} \\ \frac{\partial \dot{p}}{\partial x} & \frac{\partial \dot{p}}{\partial p} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x}(\nabla_p K_\phi) & \frac{\partial}{\partial p}(\nabla_p K_\phi) \\ \frac{\partial}{\partial x}(-\nabla_x U_\psi) & \frac{\partial}{\partial p}(-\nabla_x U_\psi) \end{pmatrix}. \quad (17) $$

步骤3：通过可分性消除对角块。我们利用可分哈密顿系统参数化所施加的结构约束：

1. 动能项 $K_\phi$ 仅是动量 $p$ 的函数。因此，其梯度 $\nabla_p K_\phi$ 与位置 $x$ 无关，这意味着左上角对角块为零： $$ \frac{\partial}{\partial x}(\nabla_p K_\phi) = 0_{d \times d}. \quad (18) $$

2. 类似地，势能项 $U_\psi$ 仅是位置 $x$ 的函数。因此，其梯度 $-\nabla_x U_\psi$ 与动量 $p$ 无关，这意味着右下角对角块为零： $$ \frac{\partial}{\partial p}(-\nabla_x U_\psi) = 0_{d \times d}. \quad (19) $$

将这些结果代回雅可比矩阵，得到一个对角线为零的分块对角矩阵： $$ J_{v_\theta} = \begin{pmatrix} 0_{d \times d} & \nabla^2_{pp} K_\phi \\ -\nabla^2_{xx} U_\psi & 0_{d \times d} \end{pmatrix}. \quad (20) $$

结论。散度定义为雅可比矩阵对角线元素之和。因此：

$$ \nabla_z \cdot v_\theta = \text{tr}(J_{v_\theta}) = \text{tr}(0_{d \times d}) + \text{tr}(0_{d \times d}) = 0. \quad (21) $$

这证实了生成的流在构造上保持了相空间体积元 $dx \wedge dp$（刘维尔定理 (Safko et al., 2002)）。

A.3. 值域空间动量的物理解释

在此，我们证明值域空间动量 $p_0$（公式 7）的初始化作为嵌入幅度缩放的数据得分的合理性。

证明。我们采用高斯近似来建模泊松对数似然，从而得到 $L_2$ 数据保真势能： $$ E_{\text{data}}(x) = \frac{1}{2} \|y – Ax\|^2, \quad (22) $$ 其中 $A$ 是系统矩阵。该势能对图像状态 $x$ 施加的“物理力”由负梯度给出：

$$ \begin{aligned} F_{\text{data}}(x) &= -\nabla_x E_{\text{data}}(x) \quad (23) \\ &= -\nabla_x \frac{1}{2}(y – Ax)^\top (y – Ax) \quad (24) \\ &= A^\top (y – Ax). \quad (25) \end{aligned} $$

在我们的框架中，我们定义包含动量压缩因子 $\gamma$ 的源动量 $p_0$： $$ p_0 := \gamma A^\top (y – Ax_0). \quad (26) $$

因此，$p_0$ 对应于势能的负梯度，并由预处理因子 $\gamma$ 进行缩放：

$$ p_0 = -\gamma \nabla_x E_{\text{data}}(x)|_{x=x_0}. \quad (27) $$

物理含义：通过用缩放的负梯度初始化动量，我们提供了一个初始速度，将轨迹推向低能量流形（其中 $Ax \approx y$）。关键在于，标量 $\gamma$ 充当线性时不变预处理器。它保持了恢复力的方向（确保数据一致性引导），同时将其幅度归一化以匹配辛传输的动态范围，从而防止由病态算子 $A^\top$ 引起的尺度差异。

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FlowPET：用于低计数PET重建的物理信息辛流匹配

A.4. 辛Leapfrog积分中的体积守恒

我们证明，用于反向扩散过程的辛Leapfrog积分器在每个离散化步骤中严格保持相空间体积。这确保了刘维尔定理（命题4.1）的连续时间保证有效地转化为数值域，从而防止正文中描述的“信号洗出”现象。

定理 A.2（离散刘维尔性质）。令 $\Phi_\epsilon : Z \to Z$ 表示由步长为 $\epsilon$ 的辛Leapfrog积分器的一步所定义的离散映射，将状态 $\hat{z}_t = (\hat{x}_t, \hat{p}_t)$ 映射为 $\hat{z}_{t-\epsilon} = (\hat{x}_{t-\epsilon}, \hat{p}_{t-\epsilon})$。该映射的雅可比行列式为单位值：

$$ \left| \det(J_{\Phi_\epsilon}) \right| = \det \frac{\partial(\hat{x}_{t-\epsilon}, \hat{p}_{t-\epsilon})}{\partial(\hat{x}_t, \hat{p}_t)} \equiv 1. \quad (28) $$

证明。基于正文中的公式 11-13 和算法 2，转换 $\hat{z}_t \to \hat{z}_{t-\epsilon}$ 是三个子变换的复合：$\Phi_\epsilon = T_3 \circ T_2 \circ T_1$。我们分别分析每个子步骤的雅可比行列式。

步骤 1：第一次动量踢（$T_1$）。动量的半步更新由下式给出：

$$ \hat{x}^* = \hat{x}_t, \quad (29) $$ $$ \hat{p}^* = \hat{p}_t + \frac{\epsilon}{2} \nabla_x U_\psi(t, \hat{x}_t). \quad (30) $$

雅可比矩阵 $J_1 = \frac{\partial(\hat{x}^*, \hat{p}^*)}{\partial(\hat{x}_t, \hat{p}_t)}$ 具有分块下三角结构：

$$ J_1 = \begin{bmatrix} \text{Id} & 0 \\ \frac{\epsilon}{2} \nabla^2_x U_\psi(t, \hat{x}_t) & \text{Id} \end{bmatrix}, \quad (31) $$

其中 $\nabla^2_x U_\psi$ 是势能的Hessian矩阵。行列式是对角块行列式的乘积：$\det(J_1) = \det(\text{Id}) \cdot \det(\text{Id}) = 1$。

步骤 2：位置漂移（$T_2$）。全步位置更新定义为：

$$ \hat{x}^{**} = \hat{x}^* – \epsilon \nabla_p K_\phi(t – \epsilon/2, \hat{p}^*), \quad (32) $$ $$ \hat{p}^{**} = \hat{p}^*. \quad (33) $$

雅可比矩阵 $J_2$ 呈现分块上三角结构，因为 $\hat{x}^{**}$ 依赖于 $\hat{p}^*$，而 $\hat{p}^{**}$ 仅仅是 $\hat{p}^*$ 的副本：

$$ J_2 = \begin{bmatrix} \text{Id} & -\epsilon \nabla^2_p K_\phi(t – \epsilon/2, \hat{p}^*) \\ 0 & \text{Id} \end{bmatrix}. \quad (34) $$

同样地，$\det(J_2) = 1$。

步骤 3：第二次动量踢（$T_3$）。最终的半步动量更新为：

$$ \hat{x}_{t-\epsilon} = \hat{x}^{}, \quad (35) $$ $$ \hat{p}_{t-\epsilon} = \hat{p}^{} + \frac{\epsilon}{2} \nabla_x U_\psi(t – \epsilon, \hat{x}^{**}). \quad (36) $$

这反映了 $T_1$ 的结构，产生一个行列式 $\det(J_3) = 1$ 的雅可比矩阵 $J_3$。

结论。根据链式法则，全步的行列式是子步骤行列式的乘积：

$$ \det(J_{\Phi_\epsilon}) = \det(J_3) \cdot \det(J_2) \cdot \det(J_1) = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1. \quad (37) $$

无论步长 $\epsilon$ 或神经网络 $U_\psi$ 和 $K_\phi$ 的复杂性如何，该结果在理论上均成立，证实数值积分精确地保持体积（辛性）。

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FlowPET：用于低计数 PET 重建的物理信息辛流匹配

表 4. 求解器在合成病变 BrainWeb（见 5.4 节）上的对比。最佳结果以粗体显示。

求解器 SSIM ↑ PSNR ↑ 病变对比度 ↑

Euler 0.7401 22.89 0.8083 RK4 (Butcher, 1996) 0.7459 23.50 0.8244 Leapfrog 0.7460 23.52 0.8267

B. 进一步分析

B.1. 积分器数值耗散分析

为了验证几何守恒的关键作用，我们对积分器数值耗散进行了消融研究。我们固定了训练好的势能 ($U_\psi$) 和动能 ($K_\phi$) 网络，并使用三种求解器对来自 5.4 节的 20 个合成病变 BrainWeb 案例（$N = 100$ 步）进行推理：Euler、Runge–Kutta (RK4) (Butcher, 1996) 以及我们的辛 Leapfrog 积分器。

表 4 的结果证实，非辛求解器引入了人工粘性。虽然高阶 RK4 产生的结构指标（SSIM 0.7459）与 Euler（0.7401）相比具有竞争力，但辛 Leapfrog 实现了最高的病变对比度（0.8267），超过了 RK4（0.8244）和 Euler（0.8083）。这证明了微弱信号的优秀恢复不仅仅归因于网络容量，而是严格源于 Leapfrog 积分器的体积守恒特性，该特性防止了耗散求解器中观察到的诊断特征数值“洗出”。

B.2. 值域-零空间动量分解的影响

表 5. UDPET Brain 上相空间边界策略的消融。我们比较了无引导 ($p_0 = 0$)、各向同性 ($p_1 \sim N$) 和正交（ ours）策略。最佳结果以粗体显示。

恢复力 ($p_0$) 热噪声 ($p_1$) SSIM↑ PSNR↑ RMSE↓

None (Zeros) Null-Space Noise∗ 0.9021 28.95 0.0383 Data Score∗ Isotropic Gaussian 0.9112 28.79 0.0387 Data Score∗ Null-Space Noise∗ 0.9139 28.88 0.0387

为了隔离我们值域-零空间分解的贡献，我们比较了三种动量初始化策略（表 5）：(1) 无引导基线：$p_0 = 0$ 意味着没有恢复力；(2) 朴素引导：$p_0$ 使用数据得分，但 $p_1$ 注入各向同性高斯噪声，忽略了算子正交性；(3) FlowPET（ ours）：完全解耦的物理信息边界。

结果分析。比较揭示了两个关键见解：

• 恢复力 ($p_0$) 的必要性：比较第 1 行和第 3 行，引入数据得分显著提升了 SSIM（+0.0118）。虽然无引导基线实现了最高的 PSNR，但这是回归均值的经典特征：如果没有恢复力将轨迹拉向锐利数据流形，模型将默认为低方差、过度平滑的平均值。

• 正交注入 ($p_1$) 的优越性：比较第 2 行和第 3 行验证了值域-零空间假设。注入各向同性噪声（第 2 行）会因破坏有效的值域空间信息而降低结构保真度（SSIM 较低）。通过将不确定性严格限制在零空间内（第 3 行），FlowPET 合成纹理而不与测量一致性冲突，实现了结构保真度和感知真实性的最佳平衡。

C. 附加分析与评估

综合定量分析 如表 1 所述，FlowPET 建立了新的最先进基准，在严重的低计数场景中表现出特别强大的泛化能力。虽然在标准的 BrainWeb 基准（20% 计数）上具有竞争力，其保真度可与专门的 FourierPET (Zhang et al., 2026) 相媲美，但在 In-House 和 UDPET Brain 数据集（1% 计数）的高噪声渐近区域中，其优势变得具有决定性。

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OSEM DeepPET FourierPET Sino_cGAN DREAM FlowPET (Ours) Full-Count

OSEM DeepPET FourierPET Sino_cGAN DREAM FlowPET (Ours) Full-Count

图6. UDPET Brain (1% Count) 数据集上的定性可视化结果。该图展示了轴向视图及其放大补丁和误差图，以及中央矢状面/冠状面视图。

OSEM autoContextCNN FourierPET DGLM_u LCPRnet IR-SDE DREAM FlowPET (Ours) Full-Count

Axial-1 Coronal

/ Sagittal Axial-2

图7. 临床儿科数据集上的定性可视化结果。该图展示了大脑（顶部，由蓝线指示）和躯干（底部，由红线指示）的轴向横截面，以及放大补丁和误差图，并附带中央矢状面/冠状面全身视图。

具体而言，在具有挑战性的内部数据集上，FlowPET 达到了 36.35 dB 的 PSNR 和 0.9811 的 SSIM，显著超越了领先的随机生成基线 DREAM (Huang et al., 2025)，幅度达 0.58 dB。这一实证证据证实，辛传输为应对 100 倍剂量降低任务中极端的病态性提供了更优越的几何先验。

优越性机制。FlowPET 解决了困扰先前研究的权衡问题：

• 与确定性回归相比：与容易陷入均值回归的方法（例如 AutoContextCNN (Xiang et al., 2017)、DGLM u (Zhang et al., 2024) 和 FourierPET (Zhang et al., 2026)）不同，FlowPET 利用正交零空间注入来采样完整的后验分布，保留了回归平均所消除的高频纹理。

• 与耗散生成相比：与标准扩散模型（例如 IR-SDE (Luo et al., 2023) 和 DREAM (Huang et al., 2025)）不同，后者通过相空间收缩无意中抑制弱信号，FlowPET 强制执行体积守恒的辛传输。这种几何保障措施将微弱的病理信号视为需要传输的不变质量，而非需要耗散的噪声，从而确保在不发生数值消失的情况下 superior 地恢复低对比度病变。

扩展定性评估 图6至图12展示了更多对比方法的可视化结果，进一步说明了 FlowPET 相对于各种竞争基线在不同解剖切面上的重建性能。

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轴位-1 冠状位

/ 矢状位 轴位-2

图 8. 临床儿科数据集上的定性可视化结果。该图展示了大脑（顶部，由蓝线指示）和躯干（底部，由红线指示）的轴位横截面，并附有放大补丁和误差图，以及中央的矢状位/冠状位全身视图。

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OSEM DeepPET FourierPET Sino_cGAN DREAM FlowPET (Ours) Full-Count

图 9. UDPET Brain (1% Count) 数据集上的定性可视化结果。该图展示了轴位视图，并附有放大补丁和误差图，以及中央的矢状位/冠状位视图。

D. 局限性与未来工作

局限性 一个关键的约束是，与自然地收缩噪声的耗散求解器不同，所提出的体积守恒动力学缺乏稳定收敛的内在机制。如果学习到的势能表面不完善，这可能会导致相空间振荡。此外，与单步方法相比，迭代辛 Leapfrog 积分器的计算开销仍然是实时临床部署的重大瓶颈。

未来工作 研究必须优先考虑严格的分布外 (OOD) 泛化能力，验证其在不同扫描仪几何形状和采集协议下的鲁棒性，以确保模型不会过度拟合特定的物理约束。此外，评估范围应从像素级指标扩展到包括定量的临床评估，例如用于病变检测能力的观察者研究，以确认该方法在实际中的诊断效用。

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图10. UDPET Brain (1% Count) 数据集上的定性可视化结果。该图展示了轴向切片及其放大补丁和误差图，以及中央矢状面/冠状面视图。

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Axial-1 Coronal

/ Sagittal Axial-2

图11. 临床儿科数据集上的定性可视化结果。该图展示了大脑的轴向切片（顶部，由蓝线指示）和躯干（底部，由红线指示），并附带放大补丁和误差图，以及中央矢状面/冠状面全身视图。

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Axial-1 Coronal

/ Sagittal Axial-2

图12. 临床儿科数据集上的定性可视化结果。该图展示了大脑的轴向切片（顶部，由蓝线指示）和躯干（底部，由红线指示），并附带放大补丁和误差图，以及中央矢状面/冠状面全身视图。

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